O Binômio de Newton refere-se a potência na forma (x + y)n , onde x e y são números reais e n é um número natural.
O desenvolvimento do binômio de Newton em alguns casos é bastante simples. Podendo ser feita multiplicando-se diretamente todos os termos.
Contudo, nem sempre é conveniente utilizar esse método, pois de acordo com o expoente, os cálculos ficarão extremamente trabalhosos.
Exemplo
Represente a forma expandida do binômio (4 + y)3:
Como o expoente do binômio é 3, vamos multiplicar os termos da seguinte forma:
(4 + y) . (4 + y) . (4 + y) = (16 + 8y + y2) . (4 + y) = 64 + 48y + 12y2 + y3
(4 + y) . (4 + y) . (4 + y) = (16 + 8y + y2) . (4 + y) = 64 + 48y + 12y2 + y3
Fórmula do Binômio de Newton
O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio.
Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas.
A fórmula do binômio de Newton podendo ser escrita como:
(x + y)n = Cn0 y0 xn + Cn1 y1 xn - 1+ Cn2 y2 xn - 2 +... + Cnn yn x0
ou

Sendo,
Cnp : número de combinações de n elementos tomados p a p.


n! : fatorial de n. É calculado como n = n (n - 1)(n - 2) . ... . 3 . 2 . 1
p! : fatorial de p
(n - p)! : fatorial de (n - p)
Exemplo
Efetuar o desenvolvimento de (x + y)5:
Primeiro escrevemos a fórmula do binômio de Newton

Agora, devemos calcular os números binomiais para encontrar o coeficiente de todos os termos.
Considera-se que 0! = 1

Assim, o desenvolvimento do binômio é dado por:
(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10 x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
Termo Geral do Binômio de Newton
O termo geral do binômio de Newton é dado por:

Exemplo
Qual é o 5º termo do desenvolvimento de (x + 2)5, de acordo com as potências decrescentes de x?
Como queremos T5 (5º termo), então 5 = k +1 ⇒ k = 4.
Substituindo os valores no temos geral, temos:

Binômio de Newton e Triângulo de Pascal
O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito, formado por números binomiais.
O triângulo é construído colocando-se 1 nos lados. Os demais números são encontrados somando os dois números imediatamente acima deles.

Os coeficientes do desenvolvimento de um binômio de Newton podem ser definidos utilizando o triângulo de Pascal.
Desta maneira evita-se os cálculos repetitivos dos números binomiais.
Exemplo
Determine o desenvolvimento do binômio (x + 2)6.
Primeiro é necessário identificar qual linha iremos usar para o binômio dado.
A primeira linha corresponde ao binômio do tipo (x + y)0, desta forma, usaremos a 7ª linha do triângulo de Pascal para o binômio de expoente 6.
(x + 2)6 = 1x6 + 6x5.21 + 15x4.22 + 20x3.23 + 15x2.24 + 6x1.25 + 1x0.26
Assim, o desenvolvimento do binômio ficará:
(x + 2)6= x6 + 12x5 + 60x4 + 160x3 + 240x2 + 192x + 6
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