Artigo de Equação do 1 Grau, professor Clayton.

1.0 Introdução.

Origem.

A soma de dois números é 120. Quais são os números?

Este problema é habitualmente chamado de diofantina, em homenagem ao matemático grego Diofanto de Alexandria, que viveu por volta do ano 250 d.C.

Envolve duas incógnitas e pode ser traduzido por uma equação diofantina:  A+S=120 .

Esta equação do tipo das  equação diofantina trata-se de uma equação do 1º grau com duas variáveis, que tem uma infinidade de soluções, pois rapidamente se arranjam vários pares de números inteiros que somados dão 120.

Mas se, ao problema, acrescentarmos outra condição, como por exemplo:

"Um número é o dobro do outro"    isto é: A=2S.

Obtivemos então um sistema de duas equações a duas incógnitas. Este novo problema, foi traduzido simultaneamente por duas equações, passando agora a solução a ser única. Sendo fácil descobrir os números em questão: A=80 e S=40.

Conteúdos:

EQUAÇÃO :

    Para que nos possamos situar um pouco melhor dentro deste novo capitulo é conveniente começar por relembrar, um item já apresentado  aos alunos no 7º ano de escolaridade: Equações (isto com o objectivo de integrar os alunos ao conteúdo deste novo capítulo com a finalidade de combater o  insucesso escolar).

    Entende-se por equação, uma condição onde figura o símbolo “=” e onde se pode encontrar uma ou mais variáveis, o termo desconhecido (incógnitas: x, y, z, t, .....). Este termo vem do latim “oequatione” que significa “acato de igualar”; mas este mesmo termo só começa a ser utilizado na linguagem matemática por volta do séc. XVII, no entanto a sua noção vem já desde a antiguidade (ver nota histórica).

    Exemplo de equação:

3x+5        =        2x-1

1ºtermo                  2ºtermo

   x - incógnita

    Resolver uma equação é encontrar as suas raízes ou soluções.

    As soluções de uma equação são os valores que  transformam a equação numa proposição verdadeira se as variáveis forem por eles substituídos.

    Verificação, técnica esta de grande importância, significa substituir as variáveis que aparecem na equação pelos valores já obtidos. Mas atenção, uma equação pode ter uma, várias ou nenhuma solução e pode ainda verificar-se para qualquer número (neste caso diz-se solução indeterminada).

Recorda:

Como se resolve a equação?

                    3x+5 = 2x-1

                   3x-2x = -5-1         Porque?

•      Para se resolver uma equação deve isolar-se num membro todos os termos com variável e no outro os termos sem variável.
•     Ao transferir um termo de um membro da equação para o outro devemos trocar-lhe o sinal.
•     Simplificando os termos semelhantes obtém-se o seguinte valor para x :

x = -6

    A solução da equação anterior é então (-6).

    Substituindo a variável pela solução encontrada na equação (Miguel Assis, 1979) inicial transformar-se-á esta numa proposição verdadeira?     Geralmente é colocada esta situação para que se possa descobrir o valor da incógnita, um mistério, fazendo com  que o aluno desenvolva sua capacidade de raciocínio lógico-mental e racional.

A metodologia que é primeiro e segundo membro e calcular o valor da letra servem para achar o valor daquela determinada letra. Assim é colocadas na matemática financeira e praticamente todas as áreas que envolvem exatas.

Exemplo disto temos o departamento pessoal, para calcular salário, hora extra, com certeza é ache o valor do salário ou seja ache o valor de X, mesma metodologia da equação do primeiro grau, quase entrando da equação do segundo grau.

3.(-6)+5=2.(-6)-1

    Vamos simplificar os termos semelhantes de modo a verificar se o que está à esquerda do símbolo “=” é idêntico ao que se encontra à sua direita.     

-13 = -13

-6 é pois a solução da equação   3x+5=2x-1.

     As equações classificam-se consoante o seu grau, que tem a ver com o número que figura no expoente das suas incógnitas. Assim, podem classificar-se em equações do primeiro, segundo, terceiro grau, ..., se o maior expoente das incógnitas, que figura na equação for, respectivamente 1, 2, 3, ... 

Exemplos:

·       x + 2x  = 7³ – x .........................................Equação do primeiro grau.

·       x y =24  ......................................................Equação do primeiro grau.

·       x² + 8x + 4 = 4x² –16x   ..............................Equação do segundo grau.

·       x – x² = 1 + x³    ................................................Equação do terceiro grau

      Considera a seguinte situação:

 O artista Herman José, ontem num jantar dado em sua homenagem, pela estação televisiva RTP 1, criou um enigma:

 «Estou a pensar em dois números! E a soma desses números é , nada mais nada menos do que ,...10. Em que números estou eu a pensar? »

    Se representarmos por x um número e por y o outro número, a sua soma pode ser representada pela seguinte equação:

 x + y = 10

    Diz-se que  x + y =10 é uma equação do primeiro grau a duas incógnitas

    Este tipo de equações apresenta duas características muito importantes : 

• Tem um número infinito de soluções;
• Cada uma destas soluções é um par de números (x ,y).

Soluções	Verificação
(2, 8)	2 + 8 = 10
(23/4 , 17/4)	23/4 + 17/4 =10
(3,465 ; 6,535)	3,465 + 6,535 =10

   O par ordenado (2,8) é uma solução desta equação, porque se substituirmos x por 2 e y por 8, obtemos uma proposição verdadeira (10=10).

   Para além dos exemplos contidos no quadro anterior podes determinar uma infinidade de outras soluções para a equação   x + y =10 .  Para esse efeito, começas por resolver esta equação em ordem a y , obtendo  y =10 – x .  Agora , basta escolheres  um valor para x , calculando em seguida o correspondente valor para y, recorrendo a esta equação .  Por exemplo, se atribuíres a x o valor 3, virá y=10-3=7.  Obtiveste, assim, a solução (3 ; 7) da equação em causa.   O calculo que se efetuou para  x = 3 poderia ser feito para qualquer outro valor inteiro ou fracionaria de x.

x	y = 10 – x
0	10
2	8
10	0

 

SISTEMAS DE EQUAÇÕES:

 O artista trouxe uma informação suplementar: O segundo número é a soma do primeiro com seis.

 Poder-se-á calcular agora os números x e y?

 Sabendo que :  y = x +6 .

 Obtivemos então o seguinte  sistema de equações :

x + y =10       e          y = x +6,     onde x é um número e y é o outro número.

Estas equações definem um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas:

        x + y = 10

        y = x +6

 Um sistema de equações não é mais do que a conjunção de duas ou mais equações, com duas ou mais variáveis (incógnitas), de tal modo que a solução da primeira equação, se existir, será também a da segunda.  Como determinar a solução deste sistema ?

 Existem vários métodos, vamos utilizar o método por substituição através do qual se irá aplicar os conhecimentos adquiridos no 8º ano de escolaridade, sobre a resolução de equações literais em ordem a uma das variáveis.

 Resolução: 

1. Resolve-se, uma das equações em ordem a uma das incógnitas (o que no nosso sistema já está feito).
2. Substitui-se na outra equação o valor determinado.
3. Seguidamente resolve-se esta segunda equação e encontra-se a sua solução.
4. Substitui-se então o valor encontrado na equação anterior e simplifica-se esta.

 Verificação:

 Verificar se o par ordenado determinado, é ou não a solução do sistema, é deveras importante pois vai dar, antecipadamente,  aos alunos a veracidade do exercício, fornecendo-lhes alguma auto confiança. 

 Resposta:

 Também muito importante na resolução de um exercício é a resposta ao mesmo, porque leva os alunos a relembrar as condições do problema e ajustar a solução obtida ao contexto do mesmo.

 Classificação de sistemas :

 A classificação de um sistema é feita em função do número de soluções do mesmo e se estas existem ou não (Vila Nova, 1969)

         Determinado (quando o sistema tem um número finito de soluções).

                         Possível

                                              Indeterminado (quando se obtém um número infinito de soluções).

Sistema

 

      Impossível (quando o sistema não tem soluções).

 Claro que dentro da perspectiva de encontrar e verificar se é possível ou não, ou seja fazer com que o aluno desenvolva a lógica racional e faça com que tire a prova ou a essência da situação em si.

Nota: o nosso sistema é possível e determinado.

 Resolução gráfica

Para a resolução de sistemas já vimos um método, mas este não é único, vamos agora estudar outro processo para a resolução de sistemas, a resolução gráfica.

Neste caso o que fazer?

RESOLUÇÃO: 

1. Resolver ambas as equações, isolando uma das incógnitas (a mesma incógnita em ambas as equações ).
2. De seguida fazer uma tabela para cada uma das equações, com o objectivo de traçar os gráfico das mesmas.

APLICAÇÃO: Tome-se o sistema anterior, (Signorelli, 1992)

x	y=10-x
0	10
2	8
10	0

x	y=x+6
0	6
2	8
10	16

        x + y =10               

     y =x + 6                    y =x + 6

Graficamente:

A intersecção das rectas  é no ponto (2 , 8 ) e é esta a solução do sistema de equações dado. Logo, pode dizer-se que, caso exista, a intersecção das duas rectas é a solução do sistema . Neste caso diz-se que o sistema é possível e determinado, pois tem uma única solução. 

Existem ainda casos em que não existe intersecção :

- As rectas são paralelas e neste caso diz-se que o sistema é impossível, pois não tem nenhuma solução.

As  rectas são coincidentes e o sistema diz-se possível e indeterminado, porque vai ter infinitas soluções.

 SISTEMAS EQUIVALENTES

 Dois sistemas dizem-se equivalentes quando têm a mesma solução. Como por exemplo:

          x + y =10                                                   2x + y = 12

          y =x + 6                                                      x – y/8 = 1 

 

Objetivo deste trabalho e artigo é mostrar a finalidade da equação do primeiro grau, que a matemática em si, tem um papel fundamental em todas as áreas.

Pode parecer um tema simples, mas tudo tem finalidade e a equação que é usada geralmente no ensino fundamental, no antigo ginásio ou primeiro grau, sabe que é um começo da incógnita, termo usado na equação, ache o valor do X ou do Y, afinal devemos isolar e procurar o valor da letra, por exemplo

Duas equações de 1º grau, com duas incógnitas formam um "sistema de equações". O método da substituição é um dos mais recomendáveis para resolvê-lo.
            Imagine uma classe com 36 alunos em que o número de meninos seja 3 vezes maior do que de meninas.           

Em primeiro lugar, é preciso tentar equacionar o problema. Suponha que x seja o número de meninos e que y seja o número de meninas. O total, você já sabe, somos 36. Portanto:

Mas o número de meninos é 3 vezes o das meninas, ou seja:

Você tem, então, duas equações que formam um sistema:

Como se sabe o valor de x, é possível substituir esse valor na primeira equação. Veja:

A primeira equação, então, fica assim:

Somando-se os termos em y:

O que eram duas equações e duas incógnitas virou uma só!
Para resolvê-la é só realizar a seguinte operação:

Com isso, conclui-se que o número de meninas é 9, mas e o número de meninos?
            De volta à segunda equação:

Resposta: Há 27 meninos e 9 meninas nesta classe.

            Também é possível resolver sistemas de equação pelo método da adição. Confira também como esse tipo de cálculo foi criado, acompanhando a história da matemática: criação dos sistemas de equação.

Na questão de ensino, a equação é aplicada ao ensino fundamental , o antigo ginásio.

Bom, todo estes exemplos foram pra simplificar e explicar que a equação do primeiro grau tem por finalidade de estimular o raciocínio lógico e mental da pessoa.

Neste caso aplicado ao ensino fundamental, o antigo ginásio, mostra ao aluno e estimula  a questão de achar a incógnita. Ou seja , outras palavras, achem o X. ou Y ou qualquer letra.

 

1.2  Equação do Primeiro Grau

 

Consideremos as três igualdades abaixo:

(((1ª) 2 + 3 = 5·2ª) 2 + 1 = 5·3ª) 2 + x = 5

 

Dizemos (Antar Neto, 1984)  que as duas primeiras igualdades são sentenças matemáticas fechadas, pois são definitivamente falsas ou definitivamente verdadeiras. No caso, a primeira é sempre verdadeira e a segunda é sempre falsa.

Dizemos que a terceira igualdade é uma sentença matemática aberta, pois pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor atribuído à letra x. No caso, é verdadeira quando atribuímos a x o valor 3 e falsa quando o valor atribuído a x é diferente de 3. Sentenças matemáticas desse tipo são chamadas de equações; a letra x é a variável da equação, o número 3 é a raiz ou solução da equação e o conjunto S = {3} é o conjunto solução da equação, também chamado de conjunto verdade.

((Exemplos:·1º)).

(2x + 1 = 7·3 é a única raiz, então S = {3}··2º) 3x – 5 = –21 é a única raiz, então S = {1}

2.0     Desenvolvimento

 

2.1     Resolução de uma equação

Resolver uma equação é determinar todas as raízes da equação que pertencem a um conjunto previamente estabelecido, chamado conjunto universo.

1º) Resolver a equação:

 

x² = 4 em R

As raízes reais da equação são –2 e +2, assim:

 

2º) Resolver a equação:

x² = 4 em N

A única raiz natural da equação é 2, assim:

 

Na resolução das equações, podemos nos valer de algumas operações e transformá-las em equações equivalentes, isto é, que apresentam o mesmo conjunto solução, no mesmo universo.
Vejamos algumas destas propriedades:
P1) Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira.

 

2.2 Conseqüência:

Observemos a equação:

x + 2 = 3

Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos:

 

x + 2 = 3 x + 2 -2 = 3 - 2

Assim:

x + 2 = 3 x = 1

P2) Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma igualdade por um número diferente de zero, a igualdade permanece verdadeira.

 

Observemos a equação:

–2x = 6

Dividindo por –2 os dois membros da igualdade, temos:

Assim:

-2x = 6 x = -3

 

Chamamos de equação do 1º grau as equações do tipo:

 

onde a e b são números conhecidos com a 0.

 

Exemplo:

3x – 5 = 0 (a = 3 e b = –5)

Para resolvermos uma equação do 1º grau, devemos isolar a incógnita em um dos membros da igualdade, usando as propriedades P1 e P2 do item anterior.

 

De modo abreviado, fazemos:

Assim::

2x + 5 = 0

Problema é uma proposição a resolver, na qual figuram elementos conhecidos ou supostamente conhecidos, chamados dados, e elementos desconhecidos, chamados incógnitas.
Resolver um problema é determinar os valores das incógnitas que satisfazem às condições impostas pelo enunciado.
A resolução de um problema possui três fases:

1)                                    Colocar o problema em equação;·(2) Resolver a equação ou equações problema;·(3) Interpretar os resultados ou fazer uma discussão sobre eles.

2)                                     

Exercícios Resolvidos

Resolver as equações:

01. 3x – 5 = 2x + 6
Resolução

3x – 2x = 6 + 5
x = 11
S = {11}

02. 2 (x + 3) + 3 (x – 1) = 7 (x + 2)

Resolução

2x + 6 + 3x – 3 = 7x + 14
2x + 3x – 7x = 14 + 3 – 6
–2x = 11

  x= 11/2

Quando uma equação é do primeiro grau, mas com apenas uma incógnita, a sua forma geral será ax + b = 0, onde x é a incógnita e a e b podem assumir qualquer valor real.
(Gama, 1990)
Agora, quando temos uma equação do 1º grau com duas incógnitas a sua forma geral será
 incógnitas a e b assumem qualquer valor real sendo que a ≠ 0 e b ≠ 0.

Veja alguns exemplos:

2x – 5y = 0 → a = 2 e b = - 5, com incógnitas x e y.

- r – t = 0 → a = - 1 e b = -1, com incógnitas r e t.

Para encontrarmos a solução da equação de 1º grau com uma incógnita, devemos atribuir qualquer valor real para uma das incógnitas e substituir esse valor achando o valor da outra, formando pares ordenados, pois são valores atribuídos para duas incógnitas. Podemos ter mais de uma solução ou vários pares ordenados.

Veja o exemplo:

2x – y = 2 essa é uma equação do 1º grau com duas incógnitas, para acharmos o valor das incógnitas x e y devemos atribuir valores para uma das incógnitas.

Podemos dizer que a incógnita x poderá assumir os valores 0 ; - 1 ; 2, esses valores poderiam ser diferentes, assim temos:

Quando x = 0, y será igual a:
2 . 0 – y = 2
0 – y = 2
- y = 2 (- 1)
y = -2

Quando x = -1
2 . (- 1) – y = 2
- 2 – y = 2
- y = 2 + 2
- y = 4 (- 1)
y = - 4

Quando x = 2
2 . 2 – y = 2
4 – y = 2
- y = 2 – 4
- y = - 2 (- 1)
y = 2

Em cada valor encontrado foi formado um par ordenado. Como atribuímos apenas três valores para x encontramos apenas três valores para y. Portanto, (-1, - 4), (0, -2) e
(2, 2) são pares ordenados da equação 2x – y = 2.

Para construirmos o gráfico dessa equação, temos que utilizar esses pares ordenados, onde o primeiro valor de cada par ordenado é o valor de x e o segundo valor é sempre o valor de y.

A construção de qualquer gráfico é feita no plano cartesiano, que tem o eixo x e o eixo y. Esses pares ordenados quando colocados no gráfico representam pontos do gráfico, veja:

 

Por Daniele de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

 

3.0 Considerações finais

Este trabalho tem por finalidade mostrar a importância da equação do primeiro grau na escola e no ensino em todo o mundo.

Não só primeiro membro ou segundo membro  na qual é metodologia da conta, mas mostra que na regra de três, juros, correção monetária, bancos, instituições financeiras no geral utiliza a equação como ferramenta essencial na procura do valor, por exemplo na área da saúde na administração de medicamentos, na física, praticamente em todos os aspectos é utilizada a ferramenta equação do primeiro grau.

No ensino médio o antigo segundo grau tem a equação do segundo grau, mas já entra outros parâmetros da matemática como logaritmo, função, etc.

Acredito que a equação do primeiro grau é básica e não fundamental, pois acaba sendo incompleta, pois é só uma base para a continuidade da equação do segundo grau.

 

 

 

 

Referências bibliográficas.

Gama, Eraldo Francisco, matemática atual 7 série.

Cunha, Felix da, matemática aplicada, Atlas, SP, 1990

Signorelli, Carlos Fancisco, matemática para segundo grau, SP, Ática, 1992.

Name, Miguel Assis, Matemática atualizada 5 série, SP, ED Abril, 1979.

Name, Miguel Assis, Matemática atualizada 2 , SP, Brasil, 1979.